ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru
Кривулин Николай Петрович, кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), krivulin@bk.ru
Рязанцев Владимир Андреевич, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), ryazantsevv@mail.ru 

518.5 

Актуальность и цели. Исследование тепловых полей играет огромную роль при решении многих физических и технических проблем. Достаточно упомянуть только такие направления, как термодинамика и теплоразведка. Тепловые поля имеют сложную структуру, не поддающуюся аналитическому представлению. Поэтому актуальными являются методы равномерной аппроксимации полей во всей области их определения. Помимо разработки методов равномерной аппроксимации тепловых полей, актуальной является разработка оптимальных по точности, сложности и памяти методов аппроксимации и восстановления тепловых полей. При исследовании физических полей разнообразной природы возникают следующие задачи: 1) построение алгоритмов равномерной аппроксимации полей в рассматриваемой области; 2) разработка оптимальных методов аппроксимации полей в заданной области.
Материалы и методы. Для решения указанных задач в статье предлагается метод, общий для физических полей любой природы. Для построения наилучшего равномерного приближения физического поля определяется функциональный класс, к которому принадлежит данное поле, вычисляются поперечники Колмогорова и Бабенко соответствующего класса функций и строятся сплайны, являющиеся оптимальным методом приближения. Определяется класс функций, к которому принадлежат решения параболических уравнений и строятся равномерные в метрике пространства С аппроксимации этих решений в виде локальных сплайнов. Показано, что построенный алгоритм аппроксимации отличается от оптимального мультипликативным множителем.
Результаты. В данной работе предложены эффективные методы равномерного восстановления тепловых полей. Выводы. Результаты работы могут использоваться при разработке численных методов моделирования задач теплоразведки и термодинамики. 

тепловое поле, равномерная аппроксимация, локальный сплайн, оптимальные методы, класс функций, поперечник Колмогорова, поперечник Бабенко. 

1. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1979. – 196 с.
2. Бойков, И. В. К задаче К. И. Бабенко об асимптотике погрешности численных решений эллиптических уравнений / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2003. – № 6. – С. 3–29.
3. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. I. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензПГУ, 2005. – 360 с.
4. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. II. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. – 252 с.
5. Бойков, И. В. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки / И. В. Бойков, А. И. Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2013. – 494 с.
6. Бойков, И. В. Оптимальные методы табулирования физических полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Г. И. Гринченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 44–62.
7. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. – М. : ГИФМЛ, 1961. – 400 с.
8. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М. : Высшая школа, 1970. – 712 с.
9. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
10. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 236 с.
11. Boykov, I. V. Optimal approximation and Kolmogorov widths estimates for certain singular classes related to equations of mathematical physics / I. V. Boykov. – URL : arXiv.org/abs/1303.0416.
12. Бойков, И. В. Поперечники Соболевских классов функций с особенностями на границе / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 61–81.
13. Бойков, И. В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов на одном классе бесконечно дифференцируемых функций / И. В. Бойков // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 9. – С. 14–20.